3점을 지나는 원의 방정식

동일한 직선상에 있지 않은 3점을 지나는 원은 단 하나만 존재한다.

3점을 지나는 원

 

해당 원을 방정식으로 풀이하는 방법에는 대표적으로 2가지 방법이 존재한다.

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각각의 점이 원의 중심으로부터 떨어진 거리가 모두 같음을 이용하는 방식

원이 지나는 3점은 각각이 원 위에 있는 점이기 때문에 원의 기본적인 특성인 한 점으로 부터 같은 거리에 있는 점들의 모임을 만족한다. 따라서 원의 중심으로부터 각 점에 이르는 거리는 모두 같다. 이 특성을 이용한 방식이다.

위와 같은 상황에서 원의 중심과 점 사이의 거리 R1, R2, R3를 각각 식으로 표현하면 아래와 같다.

여기서 R1, R2, R3는 모두 원의 반지름이기 때문에 동일한 값을 가진다.

연립방정식을 세워서 풀게되면 Xc, Yc의 값을 구할 수 있다. 해당 값들은 아래와 같다.

일때,

값이 나오게 된다.

마지막으로 원의 방정식은 아래와 같이 표현할 수 있다.

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3점과 중심점을 연결한 이등변삼각형을 이용하는 방식

임의의 3점중 한점을 기준으로 나머지 두점에 선을 긋고 해당 선을 이등분하는 선을 그었을 때 두 선의 교점이 원의 중심이 된다. (아래 그림과 같이 이등변삼각형이 형성되어 만나는 교점은 원의 중심이 된다.)

먼저 AB 선분에 대해 수직이고 해당 선분을 이등분하는 선의 방정식을 구해본다. AB 선분의 기울기에 수직인 기울기는 AB의 기울기와 곱했을때 -1의 값이 나와야 한다.

AB의 기울기는 아래의 식이고 수직인 선분의 기울기는 해당 값의 역수에 -1 곱한값이 된다.

해당 기울기에 의해 선분 AB에 수직하고 이등분하는 직선의 방정식은 아래와 같다.

여기서 마지막 미지수 b를 지우기 위해서 선분 AB의 이등분이 되는 지점의 좌표를 x, y에 대입해 b를 구한다.

따라서 구하고자 하는 직선의 방정식은 아래와 같다.

같은 방식으로 선분 AC를 수직이등분하는 직선의 방정식은 아래와 같다.

 

해당 직선이 만나는 점이 원의 중심점이 되기 때문에 두 방정식의 x,y 값이 같다고 가정하고 연립하여 풀면 아래와 같은 원의 중심점의 좌표가 나오게 된다.

여기서 주의할 점은 선분 점  A와 B 또는 점 A와 C가 서로 x좌표가 같으면 문제가 발생할 수 있다. (분수의 값이 0이 된다.)